Вычитание в столбик

Для того чтобы вычесть одно число из другого, поместим вычитаемое под уменьшаемым, следующим образом: единицы под единицами, десятки под десятками. Для примера, в качестве уменьшаемого возьмем двузначное число, а в качестве вычитаемого – однозначное.

Вычитание в столбикВычитаем единицы вычитаемого из единиц уменьшаемого:

7 – 5 = 2               результат пишем под единицами.

Теперь вычитаем десятки из десятков, но у вычитаемого нет десятков, поэтому опускаем десяток уменьшаемого в ответ. В результате получаем разность:

27 – 5 = 22         

 

Теперь возьмем оба числа двухзначных:

vich2Вычитаем единицы вычитаемого из единиц уменьшаемого:

6 – 4 = 2               результат пишем под единицами

Теперь вычитаем десятки вычитаемого из десятков уменьшаемого:

8 – 3 = 5               результат пишем под десятками.

В результате получаем разность:

86 – 34 = 52

Вычитание с переходом через десяток

Давайте попробуем найти разность следующих чисел:

Вычитание в столбик с переходом через десятокВычитаем единицы. Из 7  вычесть 9 нельзя, занимаем один десяток из десятков уменьшаемого. Чтобы не забыть ставим точку над десятками.

17 – 9 = 8             результат пишем под единицами.

Теперь вычитаем десятки из десятков. У вычитаемого нет десятков, но мы занимали один десяток у уменьшаемого:

2 десятка  – 1 десяток = 1 десяток      результат пишем под десятками.

В результате получаем разность:

27 – 9 = 18

Читать полностью »

Сложение в столбик

Легко сложить одноразрядные или однозначные числа. Например, числа 3 и 5:

3 + 5 = 8

Немного сложнее сложить небольшие двухзначное и однозначное числа. Например, 3 и 15. Первое число 3 – однозначное, оно состоит из единиц. Второе число 15 – двухзначное, оно состоит из единиц и десятков.

Для того чтобы сложить двухзначные числа, следует сложить разряды единиц одного числа с разрядами единиц другого числа, затем разряды десятков первого числа с разрядами десятков другого.

Для сложения в столбик разместим одно число под другим, единицы под единицами, а десятки под десятками. Большее число пишем сверху:

сложение в столбикТеперь сложим единицы первого и второго числа:

5 + 3 = 8

Запишем ответ под единицами. Теперь надо сложить десятки, но у числа 3 нет десятков и под 1 пустая клетка. В этом случае опускаем 1 в ответ на место десятков. В результате получим ответ:

15 + 3 = 18

Попробуем решить еще пару примеров:

 sl2

  Читать полностью »

Измеряем время. Часы

До того как изобрели первые часы, люди измеряли время, следя за солнцем. Утром солнце встает над горизонтом с одной стороны, затем проходит по небу на противоположную сторону и садится за горизонт. На следующее утро происходит то же самое.

Время, за которое солнце делает полный оборот, называется сутки. Сутки складываются в недели. Недели в месяцы. Месяцы в годы. Годы в века.

В одном веке – 100 лет.

В одном годе – 12 месяцев.

В одном месяце – 30 или 31 день (суток).

Со временем сутки разбили на две части до полудня и после полудня. Каждую часть разбили на 12 частей – часов. Поэтому на часах 12 делений. Всего в сутках 24 часа.

ch1

Давайте посмотрим на часы. Жирными черточками и цифрами здесь обозначены часы, их на часах 12. На часы указывает маленькая стрелка. За сутки маленькая стрелка делает два оборота по 12 часов. Медленно маленькая стрелка двигается от часа к часу.

Час разбит на 60 частей – минут. То есть в 1 часе 60 минут.

Циферблат часов разбит на 60 частей (одно деление – одна минута). Большая стрелка указывает на минуты. Когда большая стрелка делает один оборот проходит час и маленькая стрелка продвигается на 1 час.

Отсчет начинается с метки 12. В полночь – 0 часов 0 минут или 12 часов ночи.

ch1 Читать полностью »

Многозначные числа

В прошлый раз мы говорили о цифрах и о разрядах. Продолжим тему и разберем, что такое классы.

Для чего же нам может понадобиться знание о классах. Многозначные числа разбивают на классы для удобства их чтения и записи.

Классы

Все разряды можно сгруппировать в отдельные классы, которые, как и разряды, считают справа налево.

Каждые три разряда образуют класс:

Таблицу разрядов можно преобразовать в таблицу классов следующим образом:

Классы

К первому классу «Единиц» относятся следующие разряды: единицы, десятки и сотни.

Ко второму классу «Тысяч» относятся разряды единиц, десятков и сотен тысяч.

К третьему классу «Миллионов» относятся разряды единиц, десятков и сотен миллионов.

К четвертому классу «Миллиардов» или «Биллионов» относятся разряды единиц, десятков и сотен миллиардов.

Эта таблица неполная. Далее за классом миллиардов идет пятый класс триллионов со своими единицами, десятками и сотнями и так далее.

Сделаем вывод, все классы имеют одинаковые черты, а именно:

• в каждом классе по три разряда;
• десять единиц одного разряда, каждого класса, образуют одну единицу следующего разряда;
• тысяча единиц одного класса образуют одну единицу следующего класса.

Называя разряды классов, произносят и имя класса, всех кроме первого (смотри таблицу).

Например: десятки тысяч, сотни миллионов, единицы миллиардов. Называя разряды первого класса, произнося только имя разряда без имени класса: единицы, десятки, сотни.

Давайте рассмотрим несколько примеров:

1. 70 000 – семь десятков тысяч.
2. 400 000 – четыре сотни тысяч.
3. 600 – шесть сотен.

А как прочитать число 758 502 002? Читать полностью »

Цифры

ЦифрыС самого детства нас учат считать игрушки, конфетки, яблоки. Люди издревле находили способ подсчитывать урожай, поголовье скота или звезды. Способ образования, названия и записи чисел назвали системой счисления или нумерацией.

Чтобы запомнить, сколько собрали урожая или сколько звезд на небе люди придумали символы. В разных местностях эти символы были разными.

Но с развитием торговли, чтобы понимать обозначения другого народа, люди стали пользоваться наиболее удобными символами. Мы, например, пользуемся арабскими символами. А арабскими они называются потому, что европейцы их узнали от арабов. А вот арабы эти символы узнали от индийцев.

Символы, которые используются для записи чисел, называются цифрами.

Слово цифра пошло от арабского названия числа 0 (сифр). Это очень интересная цифра. Она называется незначащей и обозначает отсутствие чего либо.

  Цифра 0

На рисунке мы видим тарелку, на которой лежит 3 яблока, и пустую тарелку, на которой нет яблок. В случае с пустой тарелкой мы можем сказать, что на ней 0 яблок.

Остальные цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 называются значащими.

Разрядные единицы

Система счисления, которой мы пользуемся, называется десятичной. Потому что именно десять единиц одного разряда составляет одну единицу следующего разряда.

Мы считаем единицами, десятками, сотнями, тысячами и так далее. Это и есть разрядные единицы нашей системы счисления.

10 единиц – 1 десяток (10)

10 десятков – 1 сотня (100)

10 сотен – 1 тысяча (1000)

10 раз по 1 тысяче – 1 десяток тысяч (10 000)

10 десятков тысяч – 100 тысяч (100 000) и так далее…

Разряд это место цифры в записи числа.

Например, в числе 12 два разряда: разряд единиц состоит из 2 единиц, разряд десятков состоит из одного десятка. Читать полностью »

Натуральные числа

натуральные числаМы каждый день отвечаем на вопрос «сколько?». При этом помимо слов много или мало, мы называем конкретные числа.

Число является основным понятием математики, которое сложилось в ходе очень длительного исторического развития.

А чтобы ответить на вопрос «сколько?» надо сосчитать.

Числа, которые мы получаем в результате счета называются натуральными числами.

Название «натуральное» происходит от латинского слова natura – природа. То есть натуральные числа как бы происходят от природы, но, конечно, изобретены человеческим мозгом.

А впервые термин «натуральное число» появляется в трудах римского философа Боэция, жившего в V – VI веке.

Самое маленькое натуральное число 1. А вот самого большого натурального числа не существует.

Для того, чтобы получить следующее натуральное число надо прибавить к текущему натуральному числу 1.

Нет наибольшего натурального числа.

Натуральных чисел бесконечно много, а вот несуществующих предметов человеку не приходило в голову считать. Поэтому 0 не натуральное число, так как оно не может получиться в результате счета.

Число 0 не является натуральным числом.

Считается, что 0 получился в результате изобретения вычитания и с потребностью обозначить то, что в результате некоторых вычислений не остается ни одного предмета.

натуральные числа Читать полностью »

Элементы геометрии. Точка и линия.

С этой статьи мы начнем изучать элементы геометрии. Геометрия это раздел математики, изучающий пространственные структуры. Любая пространственная структура, или проще говоря, фигура состоит из точек. Поэтому одно из основных понятий в геометрии это ТОЧКА.

Точка

Точки принято обозначать буквами латинского алфавита. На маленьком отрезке может быть много точек. Посмотрите на рисунок: 

Точка

Здесь изображено четыре точки. Они обозначены латинскими буквами A, B, C и D. Через точки A и C проведена линия. Между точками A и С лежит точка D. Точка В не принадлежит линии.

Любая линия состоит из множества точек.

Линия

Возьмем обычную нитку. Натянув нитку, мы получим модель прямой линии, такую линию называют просто прямой. А если нитку расслабить, то получится модель кривой линии или просто кривой:

Прямая и кривая

Кривые могут быть разными: короткими, длинными, замкнутыми и незамкнутыми, могут пересекать сами себя. Через две точки можно провести любое количество кривых.

две точки и кривые

Прямые бесконечны. На чертежах изображают лишь небольшую часть прямой, но, на самом деле, прямая продолжается в обе стороны бесконечно долго.

Прямые могут быть горизонтальными, вертикальными и наклонными:

прямая Когда мы смотрим стоя в поле на соединение неба и земли, мы видим горизонт, это и есть модель горизонтальной линии. Когда мы возьмем один конец нитки, а к другому концу привяжем грузик, то нитка повиснет вертикально вниз – это модель вертикальной линии. Если нитку отклонить в любую сторону оставив её натянутой, то получится модель наклонной линии. Читать полностью »

Математические законы

Ранее мы говорили о порядке выполнения математических действий. Продолжим изучение математических законов и сегодня поговорим о следующем:

  • о переместительном законе сложения;
  • о сочетательном законе сложения;
  • о переместительном законе умножения;
  • о сочетательном законе умножения;
  • о распределительном законе.

Переместительный закон сложения

У Маши 3 яблока, а у Миши 4. Сколько яблок у детей?

Для решения этой задачи надо сложить  вместе 3 Машиных яблока и 4 Мишиных:

3 + 4 = 7

Ответ: У детей 7 яблок.

А изменится ли ответ если яблоки складывать в другом порядке, то есть к 4 Мишиным прибавить 3 Машиных яблока?

4 + 3 = 7

Мы убедились, что не важно, в каком порядке складывать числа (слагаемые). Результат (сумма) будет одинаковым:

3 + 4 = 4 + 3 = 7

Это и есть переместительный закон сложения, он звучит так:

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Переместительный закон сложения Читать полностью »

Площадь

ПлощадьВ этой статье мы разберемся, как вычислить площадь фигуры.

Сравнить площади разных фигур можно способом наложения. Посмотрите на рисунок. Мы видим две фигуры: треугольник и прямоугольник. Для того, чтобы их сравнить мы можем наложить меньшую фигуру на большую. Треугольник полностью поместился в прямоугольнике, это значит, что треугольник меньше прямоугольника.

Но не всегда можно сравнить площади фигур таким способом. Тогда можно разбить фигуру на равные квадраты и посчитать количество квадратов входящих в эту фигуру.

площадь фигурыНа рисунке изображено две фигуры. Путем наложения эти фигуры сравнить невозможно. Мы разбили эти фигуры на квадраты с одинаковой площадью. Теперь можно посчитать количество квадратов входящих в эти фигуры. В первую фигуру вписалось 6 квадратов, а во вторую 8. Значит площадь первой фигуры меньше площади второй.

Площадь фигуры равна числу единичных квадратов, составляющих эту фигуру.

Если у квадрата сторона равна 1 см, то площадь такого квадрата равна 1 квадратному сантиметру (см2).

Читать полностью »

Периметр

Периметр многоугольникаСегодня у нас речь пойдет о том, как вычислить периметр многоугольника. Но сначала поговорим о многообразии фигур. Посмотрите на рисунок. Какие фигуры мы здесь видим? Это прямоугольник и квадрат – многоугольники, которые имеют по четыре стороны, а также треугольник, имеющий три стороны, и пятиугольник с пятью сторонами.

И как же найти периметр этих фигур?

Для того, чтобы найти периметр многоугольника надо сложить длины всех его сторон.

Периметр обозначается заглавной латинской буквой Р.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Вычислим периметр многоугольника О. Как мы говорили ранее, периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон. Сложим все стороны нашего многоугольника:

Р = 15 + 17 + 10 + 10 + 20 + 15 = 87

Но можно вычислить периметр и другим способом, используя умножение. Мы видим, что некоторые стороны многоугольника одинаковы. У нас две стороны по 15 условных единиц и еще две по 10. Запишем выражение:

Р = 15 × 2 + 10 × 2 + 17 + 20 = 87

Теперь поговорим об особенностях вычисления периметра некоторых многоугольников.

периметр прямоугольникаПрямоугольник – это такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны. Например, чтобы вычислить периметр прямоугольника А со сторонами а и б, надо сложить эти стороны и умножить полученный результат на 2:

Р(прямоугольника) = (а + б) × 2

То есть, если сторона прямоугольника а = 5 см, а сторона прямоугольника б = 3 см, то периметр прямоугольника будет:

Р = (5 + 3) × 2 = 16 см

А как найти неизвестные стороны прямоугольника, если известен его периметр и только одна из сторон?

Р(прямоугольника) = 2 × а + 2 × б

Значит:

а = (Р – 2 × б) ÷ 2 или б = (Р – 2 × а) ÷ 2

Пример: Периметр прямоугольника 16 см, сторона а = 5 см. Чему равны остальные стороны прямоугольника?

Если мы знаем одну сторону прямоугольника, значит длины двух, из четырех сторон нам известны. Найдем остальные две стороны. То есть найдем одну, а вторая будет ей равна.

сторона б = (16 – 2 × 5) ÷ 2 = 3 см

Ответ: у прямоугольника две стороны по 5 см и две по 3 см.

периметр квадратаКвадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Чтобы вычислить периметр квадрата надо длину одной стороны умножить на 4:

Р(квадрата) = а × 4

Например, у квадрата В сторона а = 5 см. Чтобы найти его периметр:

Р(В) = 5 × 4 = 20 см

А если известен периметр квадрата, как найти длины его сторон? Очень просто, надо его периметр разделить на четыре:

а = Р ÷ 4

Пример: Периметр квадрата 24 см. Чему равны его стороны?

а = 24 ÷ 4 = 6

Ответ: Стороны квадрата равны 6 см.

периметр равностороннего многоугольникаПо подобию вычисления периметра квадрата вычисляется периметр всех равносторонних многоугольников. То есть периметр равностороннего многоугольника равен длине одной его стороны умноженной на количество сторон.

Если длина одной стороны многоугольника равна а, а число его сторон равно n, то его периметр будет равен:

Р(равностороннего многоугольника) = а × n

Например, у пятиугольника Д сторона а = 6 см. Найдем его периметр:

Р(Д) = 6 × 5 = 30 см

Ну а если известен периметр равностороннего многоугольника, то вычислить длины его сторон очень просто, надо разделить его периметр на количество сторон.