Легко сложить одноразрядные или однозначные числа. Например, числа 3 и 5:
3 + 5 = 8
Немного сложнее сложить небольшие двухзначное и однозначное числа. Например, 3 и 15. Первое число 3 – однозначное, оно состоит из единиц. Второе число 15– двухзначное, оно состоит из единиц и десятков.
Для того чтобы сложить двухзначные числа, следует сложить разряды единиц одного числа с разрядами единиц другого числа, затем разряды десятков первого числа с разрядами десятков другого.
Для сложения в столбик разместим одно число под другим, единицы под единицами, а десятки под десятками. Большее число пишем сверху:
Теперь сложим единицы первого и второго числа:
5 + 3 = 8
Запишем ответ под единицами. Теперь надо сложить десятки, но у числа 3 нет десятков и под 1 пустая клетка. В этом случае опускаем 1 в ответ на место десятков. В результате получим ответ:
Выражениями с переменными называются выражения содержащие переменные.
В качестве переменных в выражениях используются буквы, поэтому их также называют буквенными выражениями. Буквенные выражения могут содержать как несколько букв, так и одну букву.
Например:
В задачах и примерах буквенные выражения используются для вычисления выражений с заданными переменными. То есть вместо букв надо подставить заданные значения:
Вычислить выражение
Подставляем в выражение значения вместо букв:
Произведения с переменными записывают без знака умножения (·):
Если в выражениях участвует деление, такие выражения записывают в виде дроби:
Соответственно выражение в предыдущем примере можно записать следующим образом:
Давайте рассмотрим ещё один пример:
при x = 2
Если в выражении встречается несколько раз одна и та же буква (переменная), то ей соответствует одно и то же значение.
Сегодня мы поговорим о порядке выполнения математических действий. Какие действия выполнять первыми? Сложение и вычитание, или умножение и деление. Странно, но у наших детей возникают проблемы с решением, казалось бы, элементарных выражений.
Порядок выполнения действий:
Читаем выражение слева направо и выбираем порядок действий по приоритету. Сначала выполняем действия в скобках. Затем умножение и/или деление. Далее складываем и вычитаем.
Если скобки имеют несколько вложений, то есть если внутри скобок есть ещё скобки, то сначала выполняем действия во внутренних скобках. Для простоты понимания, выражение в скобках можно воспринимать как самостоятельное выражение, то есть как отдельный пример, который надо решить. Внутри скобок действия выполняются согласно тому же порядку: Действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.
Умножение и деление не имеет между собой приоритета и выполняются слева направо, также как и сложение с вычитанием.
Рассмотрим пример:
38 – (10 + 6) = 22;
Итак, вспомним о том, что сначала вычисляются выражения в скобках
1) в скобках: 10 + 6 = 16;
2) вычитание: 38 – 16 = 22.
Если в выражение без скобок входит только сложение и вычитание, или только умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.
Начиная со второго класса без знания таблицы умножения на зубок учиться сложно. Но выучить таблицу умножения для некоторых детей большая проблема. К моему удивлению я обнаружила, что многие взрослые не знают таблицу умножения. Вся проблема в том, что в свое время не был найден правильный алгоритм запоминания таблицы.
Алгоритмов много, но надо выбрать тот, который подойдет именно вашему ребенку.
Люди не одинаково воспринимают информацию. У кого-то лучше развита зрительная память, а другие лучше запоминают на слух. Поэтому при запоминании таблицы умножения лучше применять оба способа.
Метод, который мы сегодня предложим, не является панацеей, но он проверен и работает.
Обучение следует разбить по дням. Пока не запомнится предыдущее занятие, начинать следующее не стоит. Все дети запоминают с разной скоростью. Возможно, ваш ребенок будет быстро усваивать информацию, а может быть ему понадобиться несколько дней для запоминания одного урока. Это совершенно нормально и не стоит ругать ребенка. Лучше если вы будете терпеливы. Во время занятий должна быть тишина. Выключите музыку, телевизор. Уберите игрушки. Ничего не должно отвлекать ребенка.
Каждая статья сопровождается видеоуроком и тестом. Первый день не очень сложен, поэтому видеоуроков не требует. Если вы пожелаете, мы сделаем видеоурок для первого дня. Пожелания пишите в комментариях под статьей.
В лучшем случае нам понадобится 6 дней на заучивание всей таблицы умножения. Если запоминание идет медленно, можно повторять урок несколько дней до полного усвоения. Здесь вы можете найти ссылки на все уроки:
Мы уже говорили о делении и об основных правилах деления. Продолжим изучать деление и разберем, как можно упростить некоторые примеры с участием деления, такие как:
Деление произведения двух чисел на число;
Деление числа на произведение двух чисел;
Деление суммы двух чисел на третье число;
Деление разности двух чисел на третье число;
Сумма или разность двух частных, в которых делители одинаковы.
Деление произведения двух чисел на число
Чтобы разделить произведение двух чисел на число, разделите на это число один из множителей, а полученное частное умножьте на второй множитель.
Например:
36 × 7 ÷ 4 = (36 ÷ 4) × 7 = 9 × 7 = 63
15 × 44 ÷ 11 = (44 ÷ 11) × 15 = 4 × 15 = 60
Если ни один из множителей не делится на третье число, то следует вычислить произведение двух первых чисел и потом поделить на третье число.
15 × 24 ÷ 9 = 360 ÷ 9 = 40
Деление числа на произведение двух чисел
Чтобы разделить число на произведение двух чисел, разделите это число на один из множителей, а затем полученное частное разделите на другой множитель.
Например:
432 ÷ (36 × 6) = 432 ÷ 36 ÷ 6 = 2
3072 ÷ (12 × 32) = 3072 ÷ 12 ÷ 32 = 8
Этот прием называется приемом последовательного деления.
Деление суммы двух чисел на третье число
Чтобы разделить сумму двух чисел на третье число, разделите каждое слагаемое суммы на это число, а затем сложите полученные частные.
В предыдущем уроке мы узнали об умножении на 0, на 1 и на 10. Если Вы не читали введения, прочитайте пожалуйста в статье “Как выучить таблицу умножения“, там даны все указания по изучению уроков.
Повторите пройденный материал, сделайте перерыв 15 минут.
Теперь начнем с таблицы умножения на 2. Показываем ребенку пример и проговариваем его 3 раза. Ребенок должен повторять каждый раз за вами и смотреть на пример. Как вы будете чередовать примеры – неважно. Главное разбить примеры на группы:
I группа
Дважды два – четыре
Проговариваем три раза, пример должен быть перед глазами у ребенка, ребенок повторяет за вами.
Дважды три – шесть
Дважды четыре – восемь
Заучив все три примера, спросите у ребенка, сколько будет дважды три. Ребенок точно должен ответить. Сразу за ответом следующий вопрос: сколько будет дважды два, после правильного ответа – вопрос: сколько будет дважды четыре. Специально, при проверке чередуем примеры не по порядку. Если ребенок ошибся, повторите пример с ответом, показывая пример, опять три раза.
Когда ребенок правильно ответил на все вопросы, делаем перерыв минут десять. Во время перерыва ребенок должен заниматься чем угодно, но не видеть и не повторять примеры. Отвлекаясь, его мозг будет усваивать информацию.
После перерыва опять спрашиваем заученные примеры. Если ребенок, в каком либо примере ошибся, повторите его три раза.
Делаем опять перерыв, минут десять на усваивание информации. Читать полностью »
Еще со времен древних греков простые числа были очень привлекательны для математиков. Они постоянно ищут разные способы их нахождения, но самым эффективным способом «поимки» простых чисел, считается способ, найденный александрийским астрономом и математиком Эратосфеном. Этому способу уже около 2000 лет.
Какие числа являются простыми
Как же определить простое число? Многие числа делятся без остатка на другие числа. Число, на которое делится целое число, мы называем делителем.
В данном случае мы говорим о делении без остатка. Например, число 36 можно разделить на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и на само себя, то есть на 36. Значит, 36 имеет 9 делителей. Число 23 делится только на себя и на 1, то есть это число имеет 2 делителя – это число является простым.
Числа, которые имеют только два делителя, называются простыми числами. То есть, число, которое делится без остатка только на себя и на единицу, называется простым.
Для математиков открытие закономерностей в ряду чисел, которые потом можно использовать для построения гипотез, является очень приятным событием. Но простые числа отказываются подчиняться хоть какой-нибудь закономерности. Но есть способ определения простых чисел. Этот способ найден Эратосфеном, он называется «решетом Эратосфена». Давайте рассмотрим вариант такого «решета», представленный в виде таблицы чисел до 48 и поймем, как она составлена.
В этой таблице все простые числа меньше 48 отмечены оранжевым цветом. Найдены они так:
1 – имеет единственный делитель и поэтому не является простым числом;
2 – наименьшее простое число и единственное четное, так как все остальные четные числа делятся на 2, то есть имеют не меньше 3 делителей, эти числа сведены в фиолетовую колонку;
3 – простое число, имеет два делителя, все остальные числа, которые делятся на 3, исключаются – эти числа сведены в желтую колонку. Колонка, отмеченная и фиолетовым, и желтым, содержит числа делящиеся и на 2 и на 3;
5 – простое число, все числа, которые делятся на 5, исключаются – эти числа обведены зеленым овалом;
7 – простое число, все числа, которые делятся на 7, обведены красным овалом – они не являются простыми;
Все числа не являющиеся простыми отмечены синим цветом. Далее эту таблицу можно составить самому по образу и подобию.
Самое большое число, которое рассчитано математиками, записывается 25962 знаками.
Если вы хотите получать анонсы наших статей, подпишитесь на рассылку “Новости сайта”.
Начнем как всегда с первого класса. Здесь решаютсяпростые текстовые задачи на тему нахождения суммы или остатка, увеличение или уменьшение на несколько единиц, нахождение слагаемого. А также составные задачи, где находят сумму и остаток.
Во втором классе решаются такие простые задачи, как нахождение уменьшаемого и вычитаемого, разностное сравнение, нахождение произведения, деление на равные части, деление по содержанию, а также увеличение и уменьшение в несколько раз. Составные задачи дети решают на темы увеличение либо уменьшение и нахождение суммы и увеличение либо уменьшение и разностное сравнение.
В третьем классе решаются простые текстовые задачи на кратное сравнение, определение длины пути, времени движения и скорости, а также на определение цены и стоимости. Составные задачи – решаются на темы:
нахождение уменьшаемого, вычитание, остатка;
нахождение суммы и деление на части;
нахождения суммы и произведения;
нахождения произведения и деление на части.
В четвертом классе в простых задачах определяют производительность, время работы и объем работы, расход материалов, а также решаются задачи на движение в противоположных направлениях. Составные задачи решаются на все арифметические действия.
Решение уравнений
Эта тема начинается с третьего класса с нахождения неизвестного компонента арифметических действий. Во втором классе уже решаются простые и сложные уравнения.
В следующей статье мы рассмотрим тему «геометрический материал». Спасибо за использование нашего ресурса.
Продолжаем рубрику «основные содержательные линии курса математики начальной школы». В предыдущих статьях мы уже рассмотрели такие содержательные линии как нумерация, величины и вычислительные навыки. Сегодня мы рассмотрим тему «найти значение выражения», в которой выясним значения, каких выражений учатся находить ученики начальной школы.
Начнем с первого класса. Изучая темы «сумма» и «разность», дети впервые сталкиваются с понятием «выражение» и «значение выражения». Здесь осваиваются такие правила, как переместительный закон сложения, сложение и вычитание с числом 0. Все арифметические выражения сейчас осваиваются пока без скобок. В качестве рациональных приемов вычислений, здесь используется группировка слагаемых.
Во втором классе, помимо сложения и вычитания изучают умножение и деление, а так же названия компонентов арифметических действий. Осваиваются такие правила, как переместительный закон умножения, сочетательные законы сложения и умножения, умножение и деление с числами 0 и 1, порядок действий и нахождение значения выражения со скобками. В качестве рациональных приемов вычислений используется группировка множителей. Дети учатся сами контролировать результаты своих вычислений: вычитание контролируется сложением, а деление – умножением.
В третьем классе изучается распределительный закон. Здесь используются такие приемы вычислений, как вычитание числа из суммы и суммы из числа, умножение и деление суммы на число, а также признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9. Контролировать себя ученика помогает определение последней цифры результата вычислений и определение числа сотен в ответе.
И наконец, в четвертом классе изучаются числовые выражения, происходит знакомство с буквенными выражениями, но без использования терминов. Дети учатся находить значения выражения с переменной. Используются такие рациональные приемы, как разложение на удобные слагаемые при сложении и вычитании, а также разложение на удобные множители при умножении и делении. Проверяют себя дети путем оценки результатов вычислений и определения числа цифр в ответе.
Следующую тему – «решение текстовых задач» читайте в следующей статье. Спасибо, что вы с нами.
Продолжаем тему «основные содержательные линии курса математики начальной школы». В предыдущей статье мы рассмотрели такие линии, как «нумерации» и «величины». Продолжим далее по списку, представленному в предыдущей статье, и рассмотрим освоение учениками начальной школы вычислительных навыков.
Сложение и вычитание
В первом классе начальной школы дети осваивают сложение и вычитание в пределах 10, а также в пределах 100 без перехода через десяток.
Во втором классе сложение и вычитание осваивается уже сначала в пределах 20 с переходом через десяток, затем в пределах 100, также с переходом через десяток. Также осваивается письменное вычисление двухзначных чисел «в столбик».
В третьем классе осваивается сложение с переходом через разряд в пределах 10000, а также вычитание с переходом через разряд в пределах 1000. Дети устно складывают и вычитают круглые числа в пределах 1000, письменно – трехзначные числа.
В четвертом классе осваивается сложение и вычитание многозначных чисел, уже в пределах 1000000. Устно складывают и вычитают круглые числа, такие как тысячи и миллионы, а письменно – многозначные числа в пределах миллиона.
На нашем сайте Вы можете посмотреть видеоуроки сложение и вычитание.
Умножение и деление
Освоение таких вычислительных навыков, как умножение и деление начинается со второго класса, здесь осваивается таблица умножения, а также соответствующие случаи деления.
В третьем классе осваивается умножение трехзначных чисел на однозначное число, а также деление с остатком. Деление осуществляется трехзначных чисел на однозначное число, берутся простые случаи. Устно осуществляется внетабличное умножение двухзначных чисел на однозначные, умножение и деление на 10 и на 100, а также умножение и деление десятков на однозначное число. Письменно умножаются и делятся трехзначные числа на однозначные.
В четвертом классе осваивается умножение и деление многозначных чисел на двухзначные и трехзначные числа в пределах миллиона. Устно вычисляются круглые числа, а именно умножение и деление на двузначное число в пределах 100. Письменно умножаются и делятся многозначные числа на двузначные и трехзначные числа.
На этом мы прервем наши исследования и продолжим их в следующей статье “найти значение выражения“.
Если вы хотите получать информацию о новых статьях и проектах нашего сайта, то подпишитесь на рассылку новостей сайта. Всего вам наилучшего и успехов. Спасибо.
Теперь сложим единицы первого и второго числа:
